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理学院邹都副教授在国际微分几何最高级别期刊《Journal of Differential Geometry》发表学术论文

发布者:谢晓丽发布时间:2019-10-10浏览次数:543

    武科大网讯(通讯员冯育强)近日,理学院楚天学子邹都副教授的学术论文《The Lp Minkowski problem for electrostatic p-capacity》被《Journal of Differential Geometry》正式接收,论文篇幅为42页。《Journal of Differential Geometry》的主编是国际数学领袖丘成桐教授,该期刊是微分几何领域最高级别的专业期刊。

 

Journal of Differential Geometry期刊封面

    一般p-容量在 Lp 变分下产生了Lp p-容量测度,此事实表明容量理论必将进化到Lp阶段。在本文中,邹都副教授率先提出一般p-容量的Lp Minkowski问题:单位球面上的一个正有限的Borel测度,它能成为Lp p-容量测度的充分必要条件是什么?邹都副教授对所有的p-容量当范数指标p>1时,解决了解的存在性、唯一性、连续性以及解的刻画等问题,其解决过程需克服几何体坍塌造成的困难。该成果在国内外同行中产生了较大的反响。

    在凸体类上,一个几何泛函在一阶变分下常常在空间的单位球面上产生一类几何测度,它是几何泛函的微分。于是,自然地出现了如下反问题:给定单位球面上的一个正有限Borel测度,它能够成为某凸体所指定类型的几何测度的充分必要条件是什么? 这一类反问题称作几何泛函的Minkowski问题。

    经典的Minkowski问题由Minkowski本人在发展体积理论(现今也称作 Brunn-Minkowski理论)时提出,它是体积泛函的Minkowski问题,该问题的一般测度版本被Minkowski本人、Aleksandrov、Fenchel、Jessen等数学家解决.该问题的解析版本是一个退化的Monge-Ampere方程,是微分几何中围绕光滑正则闭凸超曲面的Gauss曲率的反问题,而围绕解的正则性问题引发了Lewy、Nirenberg、Cheng与Yau(丘成桐)、Pogorelov、Caffarelli 等数学家一些列具有高影响力的研究工作。近些年来,由Yau引领的团队从几何的角度阐述和改进深度学习模型,而Minkowski问题在其中得到了很好的应用。

    静电容量有着积分公式,称作Poincare公式;它有着一阶变分公式,称作Hadamard变分公式;它的微分称作静电容量测度。美国艺术与科学院院士、美国数学会副主席、MIT的 David Jerison 教授在1996年发表于Acta Math. 的论文中提出并解决了静电容量的Minkowski问题。2015 年,CNSXYZ 建立了一般 p-容量的Hadamard变分公式,由此引入p-容量测度以及p-容量的Minkowski问题,并对该问题开展了系统研究。其遗留情形最近由 AGHLV 所解决。

 

邹都论文截图  

    纽约大学库朗数学研究所的Erwin Lutwak教授在1993年发表于《Journal of Differential Geometry》的论文中开创了Lp Brunn-Minkowski理论,通过计算出体积的Lp变分而引入了Lp表面积测度,提出了体积的Lp Minkowski 问题。该问题至今仍是热点问题,其诸多情形仍未解决。邹都博士的研究是这一重要问题的阶段性成果。

 

附:个人简介

    邹都,2001-2008年于武汉科技大学学习,2015 年于上海大学获理学博士学位。2016年受邀和资助于纽约大学从事学术研究。主要研究领域为几何,涉及凸体几何、积分几何、随机几何等方面。

 

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